Цт По Математике
Всё о Центральном Тестировании по математике за 2008 год. Тысячи заданий с решениями для подготовки к ЦТ—2018 (Беларусь) по всем предметам.
Решение: Сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰. Поэтому верхний угол в треугольнике: 1) 25⁰, 2) 35⁰, 3) 50⁰, 4) 45⁰, 5) 40⁰. У равнобедренных треугольников два равных угла.
В 5) они равны по 40⁰. Поэтому 5-й треугольник равнобедренный.
А2. Укажите верное равенство: log 35 1) log 39 = 3; 2) log 2828 = 0; 3) 5 = 3; 4) log 5353 = 53; 5) log 1 5(1/15) = -1. Белоруссия.
Решение: Так как log 53 log 39 = log 3(3²) = 2 (равенство 1 не верно); log 2828 = 1 (равенство 2 не верно); 3 = 5 (равенство 3 не верно); log 5353 = 1 (равенство 4 не верно); log 15(1/15) = log 1515⁻¹ = -1 (равенство 5 верно). А3. Сумма всех натуральных делителей числа 20 равна: 1) 9; 2) 42; 3) 7; 4) 41; 5) 21. Решение: Натуральные делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Их сумма: 1+2+4+5+10+20 = 42. А4. Даны квадратные уравнения: 1) 3 x ² + 12 x + 12 = 0; 2) 7 x ² - 3 x - 2 = 0; 3) 5 x ² + 10 x + 5 = 0; 4) 12 x ² + 4 x + 5 = 0; 5) 2 x ² - 3 x - 5 = 0.
Укажите уравнение, которое не имеет корней. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. Решение: Уравнение не имеет корней, если её дискриминант D = b ² – 4 ac 0; 3) D = 10²-455 = 0; 4) D = 4²-4125 = -224 0. А5. Если 10² α = 537,61278, то значение α с точностью до сотых равно: 1) 5,37; 2) 53,76; 3) 5,38; 4) 53761,28; 5) 5376,13. Решение: 10²α = 537,61278, отсюда α = 537,61278/10² = 537,61278/100 = 5,3761278 ≈ 5,38. А6.
Число 154 является членом арифметической прогрессии 4, 7, 10, 13,. Укажите его номер.
1) 47; 2) 49; 3) 51; 4) 54; 5) 56. Решение: 4, 7, 10, 13, − арифметическая прогрессия а₁ = 4 d = 3 (разность прогрессии) a n = 154 n −? Формула общего члена арифметической прогрессии: a n = а₁ + d ( n - 1), отсюда n = (a n - а₁)/ d + 1, n = (154 - 4)/3 + 1 = 51. А7. Решите неравенство - x ≥ 3. 1) x є 3; + ∞); 2) x є (-∞; - 3; 3) x є - 3; 3; 4) x є (-∞; - 3 U 3; + ∞); 5) x ₁ = - 3, x ₂ = 3. Решение: Применим свойства модуля: - x = x ; x ² = x ².
Тогда - x ≥ 3, отсюда x ≥ 3. Обе части неравенства возведём в квадрат. x ² ≥ 3² или x ² ≥ 3², x ² - 3² ≥ 0, ( x – 3)( x + 3) ≥ 0. Применим метод интервалов (см. Рис): на числовую ось наносим точки ± 3 (точки закрашиваем, т.к.
Неравенство (1) нестрогое); на полученных интервалах наносим справа налево знаки “+, -”, чередуя; т.к. Неравенство (1) имеет знак “≥”, то закрашиваем интервалы со знаком “+”; выписываем ответ (по закрашенной области на рис.).
X є (-∞; - 3U3; + ∞). 1 1 1,6 + 0,4: ( – + – – ) 4 12 А8. Вычислите: – – –––––––––––––––. 1) 2,8; 2) 0,6; 3) 0,28; 4) 60; 5) 28. 0,1 Решение: 1 1 3 1 3+1 4 1 1) – + –– = –– + – – = –––– = –– = –. 4 12 12 12 12 12 3 1 2) 0,4: – = 0,43 = 1,2.
3 3) 1,6 + 1,2 = 2,8. 4) 2,8: 0,1 = 2,810 = 28. А9.
Площадь круга равна 169 π. Диаметр этого круга равен: 1) 26; 2) 13; 3) 26 π; 4) 13 π; 5) 169. Решение: S = 169 π 2 R −? ( R – радиус круга) Площадь S круга: S = πR ². Тогда 169π = πR², отсюда R = 13 и 2R = 26. А10.
Найдите наименьший положительный корень уравнения sin 2 x =. N = 136⁰ α −? Воспользуемся теоремой: Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180⁰. Согласно этой теореме имеем (см. Рис.): 136⁰ + α = 180⁰, отсюда α = 180⁰ - 136⁰ = 44⁰. А12. На одной чаше уравновешенных весов лежат 3 яблока и 1 груша, на другой – 2 яблока, 2 груши и гирька весом 20 г.
Каков вес одной груши (в граммах), если все фрукты вместе весят 780 г? Считайте все яблоки одинаковыми по весу и все груши одинаковыми по весу. 1) 95; 2) 85; 3) 90; 4) 75; 5) 105.
Решение: Обозначим X, Y – вес одного яблока и одной груши соответственно. Составим систему уравнений: 3 X + Y = 2 X + 2 Y + 20 5 X + 3 Y = 780, или, после упрощенияX = Y + 20 5 X + 3 Y = 780. Подставим X из 1-го уравнения во 2-е 5( Y + 20) + 3 Y = 780 или 5 Y + 100 + 3 Y = 780 или 8 Y = 680, отсюда Y = 680/8 = 85 – вес одной груши. А13. Прямая а, параллельная плоскости α, находится от неё на расстоянии 3. Через прямую а проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60⁰.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если A и B − такие точки прямой а, что AB = 2, а C и D − такие точки прямой b, что CD = 5. Решение: а α BE = 3 BKE = 60⁰ AB = 2 CD = 5 S ABCD −? Так как прямая а параллельна плоскости α, то прямые а и b параллельны (см. Поэтому AB CD и искомый четырёхугольник ABCD − трапеция, лежащая в плоскости β.
Найдём высоту трапеции. В плоскости β проведём ВК перпендикулярно прямой b ( BK − высота трапеции). В плоскости α через точку К проведём прямую d перпендикулярно прямой b.
Две пересекающие прямые (ВК и d ) образуют третью плоскость, перпендикулярную прямой b. В этой плоскости проведём BE перпендикулярно прямой d. Получили прямоугольный треугольник BKE (угол Е − прямой, угол BKE = 60⁰). Имеем sin 60⁰ = BE / BK. Решение: Так как 27 x = (3³) x = (3 x)³ и 9 x = (3²) x = (3 x)², то обозначив t = 3 x, исходное выражение примет вид: t ³ + t ² - 20 t t ( t ² + t - 20) t ² + t - 20 ––––––––– = ––––––––– = –––––––––.
Подборка клипов. (1) t ( t - 4) t ( t - 4) t - 4 Разложим на множители квадратный трёхчлен по формуле: ax ² + bx + c = a ( x - x ₁)( x - x ₂), где x ₁ и x ₂ − корни уравнения ax ² + bx + c = 0. Имеем t ² + t - 20 = 0, корни этого уравнения: t ₁ = - 5, t ₂ = 4. Тогда t ² + t - 20 = ( t + 5)( t - 4) и (1) примет вид ( t + 5)( t - 4) ––––––––– = t + 5 = 3 x + 5. T - 4 Ответ: 1. А15.
Корень уравнения. А16. Какая из прямых: 1) y = 3; 2) y = 4,8; 3) y = 0; 4) y = - 4; 5) y = - 2,7 пересекает график функции y = (1/2) x ² + 2 x + 5 в двух точках?
Решение: Подставим вместо y его значение и решим квадратное уравнение относительно x. Если получим дискриминант D 0, то уравнение имеет два корня и, следовательно, эта прямая пересекает график данной функции в двух точках. 3 = (1/2) x ² + 2 x + 5, отсюда x ² + 4 x + 4 = 0; D = 4² - 44 = 0. 4,8 = (1/2) x ² + 2 x + 5, отсюда x ² + 4 x + 0,4 = 0; D = 4² - 40,4 = 14,4 0. Ответ: 2 2 y 1 5 x + 6 y А17. Если ––– = ––, то значение выражения ––––––– равно: x 3 12 y - x 1) 14/17; 2) 1) 41/71; 3) 3; 4) 6; 5) 1/6.
Решение: 2 y 1 5 x + 6 y Из равенства ––– = –– имеем x = 6 y и подставим в выражение –––––––. Получим x 3 12 y - x 56 y + 6 y 36 y –––––––– = –––– = 6. 12 y - 6 y 6 y Ответ: 4. А18.
Наименьшее целое решение неравенства lg ( x ² - 4 x - 5) - lg ( x + 1) ≤ lg 3 равно: 1) 6; 2) 1) -1; 3) 5; 4) -2; 5) 8. 1 следует ОДЗ (общая закрашенная область на двух числовых прямых): x є (5; + ∞). (1) Решаем логарифмическое неравенство lg ( x ² - 4 x - 5) - lg ( x + 1) ≤ lg 3 или lg ( x ² - 4 x - 5) ≤ lg 3 + lg ( x + 1) или lg ( x ² - 4 x - 5) ≤ lg ( 3( x + 1) ).
Так как основание 10 1, то отбрасываем логарифмы x ² - 4 x - 5 ≤ 3( x + 1) или x ² - 7 x - 8 ≤ 0. (.) Корни квадратного уравнения x ² - 7 x - 8 = 0: x ₁ = -1; x ₂ = 8. Тогда неравенство (.) равносильно ( x - 8)( x + 1) ≤ 0. (2) Наносим решения неравенства (2) на числовую ось (рис. 2) и добавляем вторую ось с закрашенной областью ОДЗ (1). 2 общая закрашенная область на двух числовых прямых: x є (5; 8 − решение исходного логарифмического неравенства. Отсюда находим наименьшее целое: 6.
Цт По Математике 2018 Задания
В1. Если в правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, а площадь диагонального сечения равна 9, то её объём равен.
Решение: SO = 3 S ASC = 9 V −? Площадь диагонального сечения (см. Рис.): S ASC = (1/2) AC SO отсюда AC = 2 S ASC / SO = 29/3 = 6. Обозначим, а − сторона квадрата ABCD. Треугольник ACD прямоугольный, теорема Пифагора: AC ² = a ² + a ² или 6² = 2 a ², отсюда a ² = 18. Объём пирамиды: V = (1/3)S ABCD SO = (1/3)a²SO = (1/3)183 = 18. 16 x - x ³ В2.
Найдите количество всех целых решений неравенства ––––––– 0. Решение: ОДЗ: x ≠ 0. Преобразуем данное неравенство: 16 x - x ³ - x ( x ² - 16) - ( x ² - 16) ––––––– 0; ––––––––– 0; –––––––– 0. 5 x 5 x 5 Обе части умножим на (- 5): x ² - 16.
В5. Найдите произведение корней уравнения 3 x ² + 81 = 2 2- x ²6 x ². Решение: 3 x ² + 81 = 2 2- x ²6 x ²; 3 x ² + 81 = (2²/2 x ²)(23) x ²; 3 x ² + 81 = (4/2 x ²)2 x ²3 x ²; 3 x ² + 81 = 43 x ²; 81 = 43 x ² - 3 x ²; 81 = 3 x ² (4 - 1); 81 = 3 x ²3; 3⁴ = 3 x ² +1.
Приравняем степени: 4 = x ² + 1; x ² = 3. Отсюда два корня: x ₁ = -, x ₂ =.
Произведение корней: x ₁ x ₂ = (- ) = - 3. В6. Площадь прямоугольника ABCD равна 55. Точки M, N, P, Q – середины его сторон. Найдите площадь четырёхугольника, заключённого между прямыми AN, BP, CQ, DM. Решение: S ABCD = 5 5 Точки M, N, P, Q – середины его сторон S ₀ –?
Обозначим (см. 1) S ₀, S ₁, S ₂, S ₃, S ₄ − площади полученных многоугольников; AQ = QD = BN = NC = x; AM = BM = CP = PD = y. Площадь прямоугольника ABCD S ABCD = 2 x 2 y отсюда xy = S ABCD/4. (.) Площадь треугольника AMD S AMD = AD AM /2 или S ₁+ S ₂+ S ₃ = 2 x y /2 = xy или, с учётом (.), S ₁+ S ₂+ S ₃ = S ABCD/4. (1) Площадь треугольника QCD S QCD = QD CD /2 или S ₁+ S ₂+ S ₄ = x 2 y /2 = xy или, с учётом (.), S ₁+ S ₂+ S ₄ = S ABCD/4.
(2) Из (1) и (2) следует S ₃ = S ₄. (3) Треугольники AKD и QRD подобны с коэффициентом подобия k = AD / QD = 2 x / x = 2. Отношение площадей этих треугольников S AKD / S QRD = k ² или ( S ₁+ S ₃)/ S ₁ = 4, отсюда S ₃ = 3 S ₁.
(4) Треугольники RCD и ECP подобны с коэффициентом подобия k = CD / CP = 2 y / y = 2. Отношение площадей этих треугольников S RCD / S ECP = k ² или ( S ₂+ S ₄)/ S ₂ = 4, отсюда S ₄ = 3 S ₂. (5) Из (3), (4), (5) следует S ₁ = S ₂. (6) Площадь прямоугольника ABCD S ABCD = S ₀+2 S ₁+2 S ₂+2 S ₃+2 S ₄. К последнему уравнению добавим (1) и получим систему S ABCD = S ₀+2 S ₁+2 S ₂+2 S ₃+2 S ₄ S ₁+ S ₂+ S ₃ = S ABCD/4. Упростим эту систему с учётом (4) и (5) S ABCD = S ₀+2 S ₁+2 S ₂+6 S ₁+6 S ₂ S ₁+ S ₂+3 S ₁ = S ABCD/4, или S ABCD = S ₀+8 S ₁+8 S ₂ 4 S ₁+ S ₂ = S ABCD/4.
С учётом (6), система примет вид S ABCD = S ₀+16 S ₁ 5 S ₁ = S ABCD/4. Из второго уравнения находим S ₁ = S ABCD/20 и подставим в первое уравнение S ABCD = S ₀+16( S ABCD/20) отсюда S ₀ = S ABCD/5 − общая формула для задач такого типа. S ₀ = 55/5 = 11. 28 В7.
Решите уравнение x ² - 6 x + 5 = ––––––––––– и найдите сумму его корней. X ² - 12 x + 32 Решение: Разложим на множители квадратные трёхчлены по формуле: ax ² + bx + c = a ( x - x ₁)( x - x ₂), где x ₁ и x ₂ − корни уравнения ax ² + bx + c = 0. Имеем x ² - 6 x + 5 = 0, корни этого уравнения: x ₁ = 1, x ₂ = 5.
Тогда x ² - 6 x + 5 = ( x - 1)( x - 5). X ² - 12 x + 32 = 0, корни этого уравнения: x ₁ = 4, x ₂ = 8. Тогда x ² - 12 x + 32 = ( x - 4)( x - 8). Исходное уравнение примет вид 28 ( x - 1)( x - 5) = –––––––––––.
(1) ( x - 4)( x - 8) ОДЗ уравнения (1): x ≠ 4; x ≠ 8. Умножим (1) на ( x - 4)( x - 8). Получим ( x - 1)( x - 5)( x - 4)( x - 8) = 28. Заметим, что 1+8 = 9 и 5+4 = 9. Поэтому 1-ю скобку умножим на 4-ю скобку, а 2-ю скобку умножим на 3-ю скобку. ( ( x - 1)( x - 8) )( ( x - 5)( x - 4) ) = 28 или ( x ² - 9 x + 8)( x ² - 9 x + 20) = 28.
Замена t = x ² - 9 x. (2) Тогда ( t + 8)( t + 20) = 28 или t ² + 28 t + 132, корни этого уравнения: t ₁ = - 22, t ₂ = - 6. Возвращаемся к переменной x по (2). Имеем два случая: 1) x ² - 9 x = - 22 или x ² - 9 x + 22 = 0. Дискриминант этого уравнения D = (-9)² - 4122 = - 7 0, уравнение имеет два корня. Должностные обязанности. По теореме Виета имеем x ₁ + x ₂ = - (-9)/1 = 9.
В8. Найдите значение выражения 8 cos ( α + π /4), если sin 2 α = 23/32, 2 α є ( π /2; π ). Решение: cos ( α + π /4) = cosαcos ( π /4) - sinαsin ( π /4) = cosα (. /2)²( cosα - sinα )², cos ²( α + π /4) = (1/2)( cos ² α - 2 cosαsinα + sin ² α ). (.) С учётом формул sin ² α + cos ² α = 1 и 2 sinαcosα = sin 2 α, (.) примет вид cos ²( α + π /4) = (1/2)(1 - sin 2 α ); cos ²( α + π /4) = (1/2)(1 - 23/32); cos ²( α + π /4) = 9/64; cos ( α + π /4) = ± 3/8. (2) Выясним знак косинуса в (2).
По условию π /2. Общая закрашенная область на трёх числовых прямых: x є (3; 4) U (4; 7) − решение системы неравенств и, следовательно, ОДЗ данной функции. Отсюда находим целые значения x, принадлежащие области определения функции: 5; 6.
Сумма целых: 5 + 6 = 11. В10. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2, вращается вокруг оси, 9 V содержащей его гипотенузу.
Найдите значение выражения –––, где V − объём фигуры π вращения. Решение: ∆ BCD − прямоугольный угол С = 90⁰ BC = 1 CD = 2 9 V ––– −? Π Объём V фигуры вращения: V = V ₁ + V ₂, (1) где V ₁ и V ₂ − объёмы верхнего ( ABC ) и нижнего ( ADC ) конусов соответственно (см. У конусов общее основание с радиусом R.
Тогда V ₁ = (1/3) πR ² h ₁ и V ₂ = (1/3) πR ² h ₂, где h ₁ = BO и h ₂ = OD − высоты верхнего и нижнего конусов соответственно. Тогда (1) примет вид V = (1/3) πR ² h ₁ + (1/3) πR ² h ₂ = (1/3) πR ²( h ₁ + h ₂) = (1/3) πR ² BD. Итак, V = (1/3) πR ² BD. (2) Для прямоугольных треугольников BCD, BOC и DOC, теорема Пифагора: BD ² = BC ² + DC ²BD ² = 1² + (2 )²BC ² = BO ² + OC ², или 1 = h ₁² + R ²DC ² = DO ² + OC ² (2 )² = h ₂² + R ², отсюда BD = h ₁ + h ₂ = 3, (.) 1 = h ₁² + R ², (.) 8 = h ₂² + R ². (.) Получили систему трёх уравнений с неизвестными h ₁, h ₂ и R. Для решения задачи (см.
(2) ) нам надо найти радиус R. Из уравнения (.) вычтем уравнение (.): 8 - 1 = ( h ₂² + R ²) - ( h ₁² + R ²) или 7 = h ₂² - h ₁² или 7 = ( h ₂ + h ₁)( h ₂ - h ₁) или, с учётом (.), 7 = 3( h ₂ - h ₁) или h ₂ - h ₁ = 7/3. Полученное равенство сложим со (.): ( h ₂ - h ₁) + ( h ₁ + h ₂) = 7/3 + 3 или 2 h ₂ = 16/3, отсюда h ₂ = 8/3.
Тогда, по (.) 8 = (8/3)² + R ², отсюда R ² = 8/9. Тогда, с учётом (.) и (2), находим объём V: V = (1/3) π (8/9)3 = 8 π /9. Тогда 9V/π = 9(8π/9)/π = 8.
В11. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 200 г и 300 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым.
Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора Решение: m ₁ = 200 г (1-й раствор) m ₂ = 300 г (2-й раствор) A ₀ ≠ B ₀ ( A ₀, B ₀ − начальная концентрация 1-го и 2-го растворов) A ₁ = B ₁ ( A ₁, B ₁ − конечная концентрация 1-го и 2-го растворов) x −? ( x − масса отливаемого раствора). A ₀%m ₁ = 0,01 A ₀ m ₁ и B ₀%m ₂ = 0,01B ₀ m ₂ − начальная масса спирта в 1-ом и 2-ом растворах соответственно. 0,01A ₀ x и 0,01B ₀ x − масса спирта, отливаемого из 1-го и 2-го растворов. 0,01A ₀ m ₁ - 0,01A ₀ x + 0,01B ₀ x − масса спирта в 1-ом растворе после долива 2-го раствора.
0,01B ₀ m ₂ - 0,01B ₀ x + 0,01A ₀ x − масса спирта в 2-ом растворе после долива 1-го раствора. A ₁ = ( 0,01A ₀ m ₁ - 0,01A ₀ x + 0,01B ₀ x )(100%/ m ₁) − конечная концентрация спирта (в%) в 1-ом растворе.
B ₁ = ( 0,01B ₀ m ₂ - 0,01B ₀ x + 0,01 A ₀ x )(100%/ m ₂) − конечная концентрация спирта (в%) в 2-ом растворе. По условию A ₁ = B ₁ или ( 0,01A ₀ m ₁ - 0,01A ₀ x + 0,01B ₀ x )(100%/ m ₁) = ( 0,01B ₀ m ₂ - 0,01B ₀ x + 0,01A ₀ x )(100%/ m ₂), отсюда A ₀ - ( A ₀ - B ₀) x / m ₁ = B ₀ + ( A ₀ - B ₀) x / m ₂, отсюда ( A ₀ - B ₀) - ( A ₀ - B ₀) x / m ₁ - ( A ₀ - B ₀) x / m ₂ = 0 или ( A ₀ - B ₀)(1 - x / m ₁ - x / m ₂) = 0.
Цт По Математике Онлайн
(1) По условию A ₀ ≠ B ₀, поэтому в (1) первый сомножитель ( A ₀ - B ₀) ≠ 0. Тогда из (1) следует 1 - x / m ₁ - x / m ₂ = 0, отсюда находим x: x = m ₁ m ₂/( m ₁ + m ₂) − общая формула для задач такого типа. X = 200300/(200 + 300) = 120 г.
( x - 5)² В12. Найдите произведение корней уравнения x. ( t ≥ 0) (1) Тогда t ² = x ² - 25, отсюда x ² = t ² + 25. (.) Тогда исходное уравнение примет вид ( x - 5)² x - t = ––––––– или ( x - t )(2 x + 10) = ( x - 5)². 2 x + 10 Отсюда, перемножая скобки слева и возводя в квадрат справа, получим 2 x ² + 10 x - 2 xt - 10 t = x ² - 10 x + 25 или x ² + 20 x - 2 xt - 10 t - 25 = 0. С учётом (.), последнее равенство примет вид t ² + 25+ 20 x - 2 xt - 10 t - 25 = 0 или ( t ² - 10 t ) + (20 x - 2 xt ) = 0 или t ( t - 10) - 2 x ( t - 10) = 0 отсюда ( t - 10)( t - 2 x ) = 0. (2) Итак, введя новую переменную t, нам удалось разложить на множители исходное уравнение и получить (2).
Из (2) имеем два случая: 1) Первую скобку в (2) приравняем к нулю: t - 10 = 0 или t = 10 или t ² = 100. С учётом (1), x ² - 25 = 100 или x ² = 125 отсюда x = ±.